Die Zinseszins-Formel

Verstehen Sie die mathematischen Grundlagen des Zinseszinseffekts und lernen Sie, wie Sie komplexe Finanzberechnungen selbst durchführen können.

$$K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n$$

Die Grundformel des Zinseszinses - das Fundament aller Finanzberechnungen

Variablen-Erklärung

K_n

Endkapital

Das Kapital nach n Jahren inklusive aller Zinsen und Zinseszinsen

K₀

Startkapital

Das anfänglich eingezahlte Kapital (Grundkapital)

Zinssatz

Der jährliche Zinssatz als Dezimalzahl (z.B. 0,05 für 5%)

Laufzeit

Die Anzahl der Jahre, für die das Kapital angelegt wird

Praktisches Berechnungsbeispiel

Aufgabe: Sie legen 10.000 € für 15 Jahre zu einem jährlichen Zinssatz von 5% an. Wie hoch ist Ihr Endkapital?

1 Gegeben: K₀ = 10.000 €, i = 5% = 0,05, n = 15 Jahre

2 Formel einsetzen: K₁₅ = 10.000 € × (1 + 0,05)¹⁵

3 Berechnung: K₁₅ = 10.000 € × (1,05)¹⁵ = 10.000 € × 2,0789

4 Ergebnis: K₁₅ = 20.789 €
Zinseszinseffekt: 20.789 € - 10.000 € = 10.789 €

Erweiterte Formeln

Mit regelmäßigen Sparraten

$$K_n = K_0 \cdot (1 + i)^n + R \cdot \frac{(1 + i)^n - 1}{i}$$

R = monatliche/jährliche Sparrate
Diese Formel berücksichtigt zusätzliche regelmäßige Einzahlungen.

Praxis-Tipp

Bei monatlichen Sparraten teilen Sie den Jahreszins durch 12 und multiplizieren die Jahre mit 12 für die Anzahl der Monate.

Kontinuierliche Verzinsung

$$K_n = K_0 \cdot e^{i \cdot n}$$

e = Eulersche Zahl (≈ 2,71828)
Für theoretische Berechnungen bei kontinuierlicher Verzinsung.

Hinweis

Diese Formel wird hauptsächlich in der Finanztheorie verwendet. In der Praxis erfolgt die Verzinsung meist jährlich oder quartalsweise.

Mathematischer Hintergrund

Exponentialfunktion

Die Zinseszins-Formel ist eine Exponentialfunktion. Das bedeutet, dass das Wachstum nicht linear, sondern exponentiell erfolgt. Je länger die Laufzeit, desto stärker wirkt sich der Zinseszinseffekt aus.

Eigenschaften:

Exponentielles Wachstum
Selbstverstärkender Effekt
Zeit ist der wichtigste Faktor
Kleine Zinsunterschiede haben große Auswirkungen

Praktische Bedeutung:

Früh anfangen ist entscheidend
Langfristige Anlagen bevorzugen
Regelmäßiges Sparen verstärkt den Effekt
Geduld wird belohnt

Berechnungstools

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